Определитель матрицы онлайн
Введите или вставьте квадратную матрицу — определитель появится сразу, точной дробью и десятичным числом.
Рассчитать определитель
Заполните все ячейки — определитель появится сразу. Пустых: 9.
Подходят целые, десятичные и обыкновенные дроби: 5, −2,5, 3/4. Решение раскрывается по шагам: метод Гаусса, формула для 2×2 и 3×3 или разложение по строке.
Как найти определитель матрицы
- 1
Введите матрицу
Выберите размер от 2×2 до 20×20 и заполните ячейки. Между ячейками удобно переходить стрелками и клавишей Enter. Матрицу можно вставить целиком из Excel или текста в любую ячейку: размер подберётся сам.
- 2
Проверьте определитель
Ответ появляется сразу после заполнения всех ячеек: точное значение целым числом или дробью и десятичное приближение. Если определитель равен нулю, калькулятор сообщит, что матрица вырожденная.
- 3
Разберите решение
Выберите способ: метод Гаусса, формулу или разложение по строке, и раскройте «Решение по шагам». Промежуточные матрицы показаны после каждого шага. Ответ с решением можно скопировать или скачать в TXT.
Формулы для матриц 2×2 и 3×3
Для небольших матриц определитель считают по готовой формуле. Примеры ниже можно подставить кнопкой «Пример» и сверить с решением по шагам.
| Размер | Формула | Пример |
|---|---|---|
| 2×2 | det A = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁ | Для строк (3, −2) и (5, 4): 3·4 − (−2)·5 = 12 + 10 = 22 |
| 3×3 | det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃ (правило треугольника) | Для строк (2, −1, 3), (1, 4, −2), (5, 0, 1): 8 + 10 + 0 − 60 − 0 + 1 = −41 |
Какой способ решения выбрать
Ответ у всех способов одинаковый, различается только запись решения.
| Способ | Размер матрицы | Как считается |
|---|---|---|
| Метод Гаусса | Любой, от 2×2 до 20×20 | Матрицу приводят к треугольному виду: под главной диагональю получают нули, вычитая из строк другие строки. Определитель равен произведению чисел на диагонали, а каждая перестановка строк меняет знак. |
| Формула | 2×2 и 3×3 | Произведения элементов подставляются в формулу из таблицы выше. Для 3×3 это правило треугольника: три произведения со знаком плюс и три со знаком минус. |
| Разложение по строке | 3×3 и 4×4 | Каждый элемент строки или столбца умножают на его минор со знаком (−1)ⁱ⁺ʲ и складывают. Калькулятор выбирает строку или столбец, где больше всего нулей: нулевые элементы не дают вклада. |
Свойства определителя
Свойства помогают упростить матрицу до расчёта и проверить ответ.
| Что сделать с матрицей | Что происходит с определителем |
|---|---|
| Поменять местами две строки или два столбца | Знак меняется на противоположный. |
| Прибавить к строке другую строку, умноженную на число | Не меняется. На этом свойстве основан метод Гаусса. |
| Умножить строку на число k | Умножается на k. |
| Транспонировать матрицу | Не меняется: det Aᵀ = det A. |
| Получить нулевую строку, две одинаковые или пропорциональные строки | Равен нулю. |
| Привести к треугольному виду | Равен произведению элементов главной диагонали. |
| Перемножить две матрицы | det(AB) = det A · det B. |
Вопросы об определителе матрицы
Что значит, если определитель равен нулю?
Матрица вырожденная: её строки линейно зависимы, то есть одна выражается через другие. У такой матрицы нет обратной, а система линейных уравнений с этой матрицей не имеет единственного решения. Калькулятор показывает это отдельным сообщением, а в решении методом Гаусса видно, на каком столбце не нашлось ненулевого элемента.
Как вводить дроби, десятичные и отрицательные числа?
Обыкновенную дробь записывайте через косую черту: 3/4 или −7/2. Десятичную — через запятую или точку: 2,5 или 2.5. Минус ставится перед числом. Пустая ячейка не считается нулём: заполните её или нажмите «Пустые → 0», если в пустых ячейках должны быть нули.
Как вставить матрицу из Excel или из текста?
Выделите квадратный диапазон в Excel или Google Таблицах, скопируйте и вставьте в любую ячейку калькулятора: размер изменится сам. Из текста подойдут строки, где числа разделены табуляцией, пробелами или точкой с запятой, а также запись LaTeX с & и \\. Кнопка «Скопировать матрицу» возвращает её обратно в формате для таблицы.
Почему ответ записан дробью?
Расчёт идёт точно, без округления, поэтому определитель матрицы с дробями часто получается дробью, например −5915/16. Рядом показано десятичное приближение со знаком ≈. В шагах решения промежуточные значения тоже точные.
Можно ли найти определитель неквадратной матрицы?
Нет, определитель есть только у квадратной матрицы, где строк столько же, сколько столбцов. Если вставить таблицу, например 3×4, калькулятор сообщит её размер и не заменит введённую матрицу.
Какой способ решения выбрать?
Для 2×2 и 3×3 короче всего формула. Разложение по строке удобно, когда в матрице много нулей, и доступно для 3×3 и 4×4. Метод Гаусса подходит для любого размера до 20×20, и именно его чаще всего ждут в задачах на большие матрицы.
Какой геометрический смысл у определителя?
Модуль определителя 2×2 равен площади параллелограмма, построенного на векторах-строках, а определителя 3×3 — объёму параллелепипеда. Знак показывает, сохраняет ли преобразование ориентацию. Определитель 0 означает, что фигура сплющена: векторы лежат на одной прямой или в одной плоскости.